Задание 22. Выполните задание, используя данные рисунка. 1) Дано: ABCD и AEFD — параллелограммы; ABCD ⊂ α, E ∉ α, F ∉ α. Доказать: EF ∥ α. 2) Дано: MN — средняя линия △ABC, AC ⊂ α, B ∉ α. Доказать: MN ∥ α. 3) Дано: ABCD — трапеция, AD и BC — основания трапеции, AD ⊂ α, BC ⊄ α. Доказать: BC ∥ α. 4) Дано: MN — средняя линия △ADC, D ∉ плоскости ABC. Доказать: MN ∥ плоскости ABC.

Так как AEFD — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: \(EF \parallel AD\).

Сторона \(AD\) лежит в плоскости \(\alpha\), поскольку \(ABCD \subset \alpha\). При этом \(EF\) не лежит в \(\alpha\): если бы \(EF \subset \alpha\), то из \(E \in EF\) следовало бы \(E \in \alpha\), вопреки условию.

По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая не лежит в плоскости и параллельна прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости. Значит, \(EF \parallel \alpha\).

Так как \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), то \(MN \parallel AC\).

Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\). Покажем, что \(MN\) не лежит в \(\alpha\). Если бы \(MN \subset \alpha\), то точки \(A,M\) принадлежали бы \(\alpha\), а значит, и прямая \(AB\), проходящая через них, лежала бы в \(\alpha\). Тогда \(B \in \alpha\), что противоречит условию.

Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости \(MN \parallel \alpha\).

В трапеции основания параллельны, поэтому \(BC \parallel AD\).

Прямая \(AD\) лежит в плоскости \(\alpha\), а по условию \(BC \not\subset \alpha\). Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости \(BC \parallel \alpha\).

Так как \(MN\) — средняя линия треугольника \(ADC\), то \(MN \parallel AC\). Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ABC\).

Точка \(M\) лежит на отрезке \(AD\) и не совпадает с \(A\). Если бы \(MN\) лежала в плоскости \(ABC\), то \(M\) принадлежала бы этой плоскости. Тогда прямая \(AM=AD\) лежала бы в плоскости \(ABC\), и точка \(D\) тоже принадлежала бы ей. Это противоречит условию.

Значит, \(MN\) не лежит в плоскости \(ABC\) и параллельна прямой \(AC\), лежащей в этой плоскости. По признаку параллельности прямой и плоскости \(MN \parallel\) плоскости \(ABC\).