Задание 23.2 Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла в прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и ВС в точках Р и К соответственно. Найдите РК, если ВН=12.

Решение:

1. Анализ условия:

У нас есть прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), где \( \angle B = 90^ \). \( BH \) — высота, проведенная из \( B \) к гипотенузе \( AC \). \( H \) — основание высоты.

Окружность с диаметром \( BH \) проходит через точки \( P \) на \( AB \) и \( K \) на \( BC \).

2. Свойства окружности и прямоугольного треугольника:

• Угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусам.
• Так как \( BH \) — диаметр окружности, то углы \( \angle BPH \) и \( \angle BKH \) равны 90 градусам.

3. Рассмотрение треугольников:

• В \( \triangle ABC \): \( \angle B = 90^ \).
• В \( \triangle BPH \): \( \angle BPH = 90^ \). Это означает, что \( HP \) перпендикулярно \( AB \).
• В \( \triangle BKH \): \( \angle BKH = 90^ \). Это означает, что \( HK \) перпендикулярно \( BC \).

4. Подобие треугольников:

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle PBK \).

В \( \triangle ABC \) и \( \triangle PBK \):

• \( \angle B \) — общий угол для обоих треугольников.
• Так как \( HP \) перпендикулярно \( AB \), и \( BC \) перпендикулярно \( AB \), то \( HP \) параллельно \( BC \).
• Так как \( HK \) перпендикулярно \( BC \), и \( AB \) перпендикулярно \( BC \), то \( HK \) параллельно \( AB \).

Из этого следует, что четырехугольник \( BPHK \) является прямоугольником, так как все его углы прямые ( \( \angle B = 90^ \) по условию, \( \angle BPH = 90^ \), \( \angle BKH = 90^ \), и следовательно \( \angle PHK = 90^ \)).

В прямоугольнике \( BPHK \) диагонали равны: \( BH = PK \).

5. Использование данных:

Нам дано, что диаметр окружности \( BH = 12 \).

Так как \( PK \) является диагональю прямоугольника \( BPHK \), и \( BH \) является другой диагональю этого же прямоугольника, то \( PK = BH \).

Следовательно, \( PK = 12 \).

Альтернативный подход через подобие:

В \( \triangle ABC \) и \( \triangle PBK \):

\( \frac{BP}{BA} = \frac{BK}{BC} \) (из подобия \( \triangle BPK \backsim \triangle BAC \))

Рассмотрим \( \triangle BPH \): \( \angle BPH = 90^ \). \( BH = 12 \). \( BP = BH \times \frac{BP}{BH} \).

Рассмотрим \( \triangle BKH \): \( \angle BKH = 90^ \). \( BH = 12 \). \( BK = BH \times \frac{BK}{BH} \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle PBH \). \( \angle ABC = \angle BPH = 90^ \). \( \angle BAH \) — общий. Нет, это неверно.

Вернемся к прямоугольнику BPHK:

У нас есть прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( B \). \( BH \) — высота. Окружность с диаметром \( BH \) проходит через \( P \) на \( AB \) и \( K \) на \( BC \).

1. \( \angle BPH = 90^ \) (угол, опирающийся на диаметр \( BH \)). Значит, \( HP \) перпендикулярно \( AB \).

2. \( \angle BKH = 90^ \) (угол, опирающийся на диаметр \( BH \)). Значит, \( HK \) перпендикулярно \( BC \).

3. В \( \triangle ABC \), \( \angle B = 90^ \), значит \( AB \) перпендикулярно \( BC \).

4. Рассмотрим четырехугольник \( BPHK \).

• \( \angle PBK = 90^ \) (из \( \triangle ABC \)).
• \( \angle BPH = 90^ \) (из условия окружности).
• \( \angle BKH = 90^ \) (из условия окружности).

Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. \( 360^ - 90^ - 90^ - 90^ = 90^ \). Значит, \( \angle KHP = 90^ \).

Таким образом, \( BPHK \) — прямоугольник.

5. В прямоугольнике диагонали равны. Диагонали \( BH \) и \( PK \).

Следовательно, \( PK = BH \).

6. Вывод:

По условию \( BH = 12 \). Так как \( PK = BH \), то \( PK = 12 \).