Задание 29. Найдите наименьшее значение функции: 1) y=9x−ln(x+4)^9 на отрезке [−3.5; 0]; 2) y=5x−ln(x+8)^5 на отрезке [−7.5; 0]; 3) y=3x−ln(x+3)^3 на отрезке [−2.5; 0]; 4) y=9x−ln(x+5)^9 на отрезке [−4.5; 0].

Используем свойство логарифма: \(\ln (x+a)^n=n\ln(x+a)\). Тогда во всех подпунктах функция имеет вид \(y=kx-k\ln(x+a)=k(x-\ln(x+a))\).

Пусть \(f(x)=x-\ln(x+a)\). Тогда \(f'(x)=1-\frac1{x+a}=\frac{x+a-1}{x+a}\). На каждом указанном отрезке точка \(x=1-a\) принадлежит отрезку, поэтому минимум достигается в ней. Значение: \(f(1-a)=1-a-\ln1=1-a\).

1. \(a=4,\ k=9\): \(x=-3\), \(y_{\min}=9(1-4)=-27\).
2. \(a=8,\ k=5\): \(x=-7\), \(y_{\min}=5(1-8)=-35\).
3. \(a=3,\ k=3\): \(x=-2\), \(y_{\min}=3(1-3)=-6\).
4. \(a=5,\ k=9\): \(x=-4\), \(y_{\min}=9(1-5)=-36\).

Ответ: 1) −27; 2) −35; 3) −6; 4) −36.