Задание 3 (15 баллов). Решите систему уравнений: { (x² + y² = 13 { xy = 6

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Выразим y из второго уравнения: \( xy = 6 \) => \( y = \frac{6}{x} \).
2. Шаг 2: Подставим выражение для y в первое уравнение: \( x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 13 \).
3. Шаг 3: Упростим полученное уравнение: \( x^2 + \frac{36}{x^2} = 13 \).
4. Шаг 4: Умножим обе части уравнения на \( x^2 \), чтобы избавиться от знаменателя: \( x^4 + 36 = 13x^2 \).
5. Шаг 5: Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение: \( x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \).
6. Шаг 6: Сделаем замену переменной. Пусть \( t = x^2 \). Тогда уравнение примет вид: \( t^2 - 13t + 36 = 0 \).
7. Шаг 7: Решим квадратное уравнение для t. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4  1  36 = 169 - 144 = 25 \).
8. Шаг 8: Найдем корни для t: \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) и \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
9. Шаг 9: Вернемся к замене \( t = x^2 \).
10. - Для \( t_1 = 9 \): \( x^2 = 9 \) => \( x = 3 \) или \( x = 3 \).
11. - Для \( t_2 = 4 \): \( x^2 = 4 \) => \( x = 2 \) или \( x = 2 \).
12. Шаг 10: Найдем соответствующие значения y, подставляя найденные значения x во второе уравнение \( y = \frac{6}{x} \).
13. - Если \( x = 3 \), то \( y = \frac{6}{3} = 2 \).
14. - Если \( x = -3 \), то \( y = \frac{6}{-3} = -2 \).
15. - Если \( x = 2 \), то \( y = \frac{6}{2} = 3 \).
16. - Если \( x = -2 \), то \( y = \frac{6}{-2} = -3 \).

Ответ: Решениями системы являются пары чисел (3; 2), (-3; -2), (2; 3), (-2; -3).