Задание 3 (27). Пятиугольная пирамида. M ∈ AS, AM:MS = 1:3; N ∈ ES, EN:NS = 4:1; P ∈ DS, DP:PS = 2:1. Постройте сечение плоскостью MNP методом следов. Начало: T = MN ∩ AE; U = MP ∩ AD; след основания t = TU. Контур и обоснование.

Проведём след плоскости сечения в основании: по условию это прямая t = TU, где T = MN ∩ AE, U = MP ∩ AD. Точки T и U могут лежать на продолжениях рёбер.

1. На грани SAE прямая MN задаёт сторону сечения; на основании она пересекает ребро AE в точке T.
2. На грани SAD прямая MP задаёт сторону сечения; след основания пересекает AD в точке U.
3. На грани SDE проведём NP. Точка V = NP ∩ DE лежит на следе основания, поскольку NP принадлежит плоскости сечения, а DE — основанию.
4. На гранях SCD и SCB последовательно продолжим стороны сечения: найдём X = (PV) ∩ SC, затем Y = (XY) ∩ BC. Если при построении пересечение оказывается на продолжении ребра, используем продолжение соответствующей грани.
5. Соединим точки сечения на каждой грани. Контур проходит по граням пирамиды; пересечения с рёбрами определяются пересечением прямой сечения грани с её рёбрами.

Обоснование: две точки плоскости определяют прямую её пересечения с плоскостью грани. Поэтому на каждой грани строим прямую через уже найденные точки сечения и отмечаем её пересечение с рёбрами этой грани. Схема ниже условная; точные положения точек задаются отношениями на рёбрах.

Ответ: контур сечения строится методом следов через M, N, P; точки пересечения следа основания и рёбер основания находят продолжением прямых сечения соответствующих граней.