Задание 3 (30 баллов). Середины рёбер KN, NM, SR, RP куба KLMNPRST последовательно соединили так, что образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник плоский и является параллелограммом.

Обозначим середины рёбер KN, NM, SR, RP соответственно A, B, C, D. Используем координаты куба: K(0,0,0), L(a,0,0), M(a,a,0), N(0,a,0), P(0,0,a), R(a,0,a), S(a,a,a), T(0,a,a).

Тогда A(0,a/2,0), B(a/2,a,0), C(a,a/2,a), D(a/2,0,a).

1. Вычислим векторы противоположных сторон: AB=(a/2,a/2,0), DC=(a/2,a/2,0); BC=(a/2,−a/2,a), AD=(a/2,−a/2,a).
2. Следовательно, AB параллелен DC, а BC параллелен AD. Значит, четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
3. Любые три точки A, B, C задают плоскость. Так как ABCD — параллелограмм, D=A+C−B, поэтому точка D также лежит в этой плоскости. Следовательно, четырёхугольник плоский.

Доказано: полученный четырёхугольник плоский и является параллелограммом.