Задание № 3. Андрей хочет согнуть прямоугольный каркас из куска проволоки длиной 60 см. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Периметр прямоугольника равен длине проволоки, поэтому \(2(a+b)=60\), то есть \(a+b=30\).

При фиксированной сумме сторон площадь \(S=ab\) наибольшая, когда стороны равны: это следует из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, \(ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\).

Значит, \(a=b=\frac{30}{2}=15\) см. Такой прямоугольник — квадрат, его площадь равна \(15\cdot15=225\) см².

Ответ: стороны должны быть по 15 см.