Задание № 3. Блок и пружины a и b прикреплены к жёсткой рамке. Через блок перекинута верёвка, и её концы прикреплены к пружинам, как показано на рисунке. Длина пружины a при этом равна 20 см, а пружины b — 15 см. Известно, что в нерастянутом состоянии обе пружины имеют длину по 10 см. Если в точке A прикрепить груз массой 3 кг, длина обеих пружин станет одинаковой. Найдите жёсткость пружины a. Дайте ответ в Н/м. Считайте g = 10 Н/кг.

Обозначим через T силу натяжения верёвки. До подвешивания груза натяжение одинаково в обеих ветвях.

По закону Гука первоначальные силы упругости равны: для пружины a удлинение равно 20 − 10 = 10 см, а для пружины b — 15 − 10 = 5 см. Поэтому \(k_a \cdot 0.10 = k_b \cdot 0.05\), то есть \(k_b = 2k_a\).

Длина верёвки постоянна, поэтому при изменении положения её концов суммарное изменение длин пружин равно нулю. Сначала сумма длин пружин равна 20 + 15 = 35 см. После подвешивания груза их длины одинаковы, значит каждая равна 17,5 см, а удлинение пружины a составляет 17,5 − 10 = 7,5 см = 0,075 м.

В новом равновесии сила упругости пружины a меньше натяжения верёвки на вес груза: \(T = F_a + mg\). Для пружины b \(T = F_b\), причём \(F_b = k_b \cdot 0.075 = 2k_a \cdot 0.075 = 2F_a\). Следовательно, \(F_a + 30 = 2F_a\), откуда \(F_a = 30\) Н.

По закону Гука \(k_a = F_a / 0.075 = 30 / 0.075 = 400\) Н/м.

Ответ: 400 Н/м.