Задание 3 (чертёж 3). Даны две параллельные плоскости α и β. Через точку N, не лежащую в этих плоскостях, проведены две прямые, которые пересекают плоскость α в точках C₁ и D₁, а плоскость β — в точках C₂ и D₂ соответственно. а) Докажите, что треугольники NC₁D₁ и NC₂D₂ подобны. б) Найдите C₂D₂, если C₁D₁ = 6 см, NC₁ : NC₂ = 3 : 4.

а) Точки N, C₁, C₂ лежат на одной прямой, а точки N, D₁, D₂ — на другой. Обе прямые задают плоскость, пересечение которой с плоскостью α — прямая C₁D₁, а с плоскостью β — прямая C₂D₂. Так как α ∥ β, то C₁D₁ ∥ C₂D₂.

Тогда соответствующие углы треугольников равны: угол при N — общий, а углы, образованные параллельными C₁D₁ и C₂D₂ с секущими, равны. Следовательно, △NC₁D₁ ∼ △NC₂D₂ по двум углам.

б) Из подобия треугольников соответствующие стороны пропорциональны:

\(\dfrac{C_2D_2}{C_1D_1}=\dfrac{NC_2}{NC_1}=\dfrac{4}{3}\).

Подставим известную длину: \(C_2D_2=6\cdot\dfrac{4}{3}=8\) см.

Ответ: а) △NC₁D₁ ∼ △NC₂D₂; б) C₂D₂ = 8 см.