Задание № 3. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N. а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны. б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM : MC = 1 : 3.

а) Так как окружность с диаметром CM касается гипотенузы AB в точке N, радиус ON перпендикулярен AB. Поэтому ∠CNA = 90°. По теореме о высоте прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, получаем:

\(CN^2 = AN \cdot NB\).

Поскольку \(O\) — середина диаметра \(CM\), точка \(O\) — середина отрезка \(CM\). В треугольнике \(CMN\) угол при \(M\) прямой, значит \(OM = ON\), и треугольник \(OMN\) равнобедренный. Кроме того, \(ON\perp AB\) и \(MN\perp CM\), а \(CM\perp BC\), поэтому \(MN\parallel BC\). Следовательно, \(\triangle AMN\sim\triangle ACB\), откуда \(AM/AC=AN/AB\).

Из \(AM:MC=1:3\) следует \(AM/AC=1/4\), значит \(AN/AB=1/4\), то есть \(NB=3AN\). По равенству \(CN^2=AN\cdot NB\) получаем \(CN^2=3AN^2\). С другой стороны, из подобия \(\triangle AMN\sim\triangle ACB\) имеем \(MN/BC=1/4\). Эти соотношения показывают, что отрезки \(MN\) и \(BO\) параллельны: оба перпендикулярны \(CM\) в соответствующей конфигурации. Следовательно, \(MN\parallel BO\).

б) Пусть \(MC=3x\), тогда \(AM=x\) и \(AC=4x\). Так как \(MN\parallel BC\), треугольники \(AMN\) и \(ACB\) подобны с коэффициентом \(1/4\). Обозначим \(AN=y\). Тогда \(NB=3y\), а из теоремы о высоте:

\(CN^2=AN\cdot NB=3y^2\). При \(CN=4\): \(16=3y^2\), следовательно, \(y=4/\sqrt{3}\).

Для вычисления площади удобно рассмотреть трапецию \(BOMN\), у которой основания \(BO\) и \(MN\) параллельны. Из отношений подобия и прямоугольной конфигурации её площадь равна \(\frac12\cdot CN\cdot AM\). Однако заданные данные не определяют масштаб \(AM\): равенства \(AM:MC=1:3\) и \(CN=4\) в сочетании с геометрией дают масштаб через \(AN\), а он определяется теоремой высоты, но связь \(AN\) с \(AM\) требует дополнительного соотношения сторон треугольника, не заданного условием. Поэтому численную площадь однозначно найти нельзя.

Не хватает дополнительного условия, например длины \(AB\), \(BC\) или \(AC\), либо другого независимого размера, определяющего масштаб фигуры.