Задание 3. Диагональ параллелограмма делит угол параллелограмма на два, величины которых равны φ и ψ. Найдите стороны параллелограмма, если длина диагонали равна l.

Пусть диагональ длины \(l\) делит угол параллелограмма на углы \(\varphi\) и \(\psi\). Тогда угол параллелограмма равен \(\varphi+\psi\).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами параллелограмма и диагональю. Углы этого треугольника при концах диагонали равны \(\varphi\) и \(\psi\), а третий угол равен \(\pi-\varphi-\psi\).

По теореме синусов:

\(\dfrac{l}{\sin(\varphi+\psi)}=\dfrac{x}{\sin\psi}=\dfrac{y}{\sin\varphi}\),

где \(x\) и \(y\) — стороны параллелограмма, причём сторона, лежащая напротив угла \(\varphi\), равна \(y\), а сторона, лежащая напротив угла \(\psi\), равна \(x\).

Следовательно:

\(x=\dfrac{l\sin\psi}{\sin(\varphi+\psi)}\),

\(y=\dfrac{l\sin\varphi}{\sin(\varphi+\psi)}\).

Если углы \(\varphi\) и \(\psi\) на рисунке отнесены к противоположным сторонам, формулы для сторон меняются местами.

Ответ: стороны параллелограмма равны \(\dfrac{l\sin\psi}{\sin(\varphi+\psi)}\) и \(\dfrac{l\sin\varphi}{\sin(\varphi+\psi)}\).