Задание № 3. Эффективность работы производственной линии по выпуску деталей описывается функцией \(E(t)=\frac{100t}{t^2+25}\), где \(t\) — время работы линии (в часах) с момента её запуска, а \(E(t)\) — процент эффективности. Определите, через сколько часов работы \(t\) эффективность линии будет максимальной?

Время работы неотрицательно: \(t\ge 0\). Найдём производную:

\[E'(t)=\frac{100(t^2+25)-100t\cdot 2t}{(t^2+25)^2}=\frac{100(25-t^2)}{(t^2+25)^2}.\]

Знаменатель положителен. Поэтому производная положительна при \(0\le t<5\) и отрицательна при \(t>5\). Значит, функция сначала возрастает, а после \(t=5\) убывает.

Ответ: через 5 часов работы.