Задание № 3: Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то неполное частное получится 3, а остаток 7. Найдите это двузначное число.

Пусть число равно \(10a+b\), а сумма его цифр — \(a+b\). По условию при делении с остатком:

\(10a+b=3(a+b)+7\).

Раскроем скобки и упростим: \(10a+b=3a+3b+7\), откуда \(7a-2b=7\).

Так как число двузначное, \(a\) — цифра от 1 до 9, а \(b\) — цифра от 0 до 9. Из равенства \(2b=7a-7\) следует, что \(a\) нечётно. Проверяем возможные цифры десятков: при \(a=1\) получаем \(b=0\); при \(a=3\) получаем \(b=7\); при большем нечётном \(a\) значение \(b\) превышает 9. Значение \(10\) не подходит как остаток при делении на сумму цифр \(3+7=10\), поскольку остаток должен быть меньше делителя. Поэтому подходит число 10? Нет: оно даёт остаток 7 при делении на 1 лишь с частным 10, а не 3. Следовательно, проверим найденные варианты непосредственно: для 10 сумма цифр 1, а для 37 сумма цифр 10; \(37=3\cdot10+7\).

Ответ: 37.