Задание 3: Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Для решения этой задачи нам потребуется несколько шагов:

1. **Найдём гипотенузу треугольника.**
Используем теорему Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(a\) и \(b\) - катеты, а \(c\) - гипотенуза. В нашем случае \(a=15\) и \(b=20\), значит:

\(c^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\)

\(c = \sqrt{625} = 25\)
Итак, гипотенуза равна 25.

2. **Найдём площадь треугольника.**
Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения его катетов:
\(S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150\)

3. **Выразим площадь через высоту, проведённую к гипотенузе.**
Площадь треугольника также можно найти как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на неё:
\(S = \frac{1}{2}ch\), где \(h\) - высота, опущенная на гипотенузу.

У нас есть площадь \(S = 150\) и гипотенуза \(c=25\). Подставим значения в формулу:
\(150 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h\)

4. **Найдём высоту h.**
Решим уравнение относительно h:
\(300 = 25h\)
\(h = \frac{300}{25} = 12\)

**Ответ:** Высота, проведённая к гипотенузе, равна 12.