Задание 3 (максимальное количество баллов – 2 балла) Найдите значение выражений: a) ((-2)^8 * 5^3) / (5^4 * 2^10 * 10) b) log_2(16) + log_1/2(4) - log_sqrt(15)(15)

Решение Задания 3:

а) Вычисление значения выражения \( \frac{(-2)^8 \cdot 5^3}{5^4 \cdot 2^{10} \cdot 10} \)

1. Упростим числитель: \( (-2)^8 = 2^8 \) (так как степень чётная).
2. Перепишем знаменатель, разложив 10 на множители: \( 5^4 \cdot 2^{10} \cdot (2 \cdot 5) = 5^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^1 \cdot 5^1 = 5^{4+1} \cdot 2^{10+1} = 5^5 \cdot 2^{11} \).
3. Подставим упрощённые выражения в дробь: \( \frac{2^8 \cdot 5^3}{5^5 \cdot 2^{11}} \).
4. Сократим степени: \( \frac{1}{5^{5-3} \cdot 2^{11-8}} = \frac{1}{5^2 \cdot 2^3} = \frac{1}{25 \cdot 8} = \frac{1}{200} \).

б) Вычисление значения выражения \( \log_2{16} + \log_{1/2}{4} - \log_{\sqrt{15}}{15} \)

1. Вычислим каждый логарифм отдельно:
• \( \log_2{16} = \log_2{2^4} = 4 \) (так как \( 2^4 = 16 \)).
• \( \log_{1/2}{4} = \log_{2^{-1}}{2^2} \). Используя свойство \( \log_{a^m}{b^n} = \frac{n}{m} \log_a{b} \), получим: \( \frac{2}{-1} \log_2{2} = -2 \cdot 1 = -2 \).
• \( \log_{\sqrt{15}}{15} = \log_{15^{1/2}}{15^1} \). Используя то же свойство, получим: \( \frac{1}{1/2} \log_{15}{15} = 2 \cdot 1 = 2 \).
2. Подставим найденные значения в исходное выражение: \( 4 + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0 \).

Ответ: а) \( \frac{1}{200} \); б) 0.