Задание 3*. Медиана КМ треугольника КАР разбивает его на два треугольника. Периметр треугольника КАМ равен 18 см, а периметр треугольника РКМ равен 24см. Найдите периметр треугольника КАР, если КМ = 7 см.

Решение:

По условию КМ — это медиана треугольника КАР. Это означает, что точка М является серединой стороны АР. Следовательно, сторона АМ = МР.

Дано:

• Периметр треугольника КАМ: P_КАМ = КА + АМ + КМ = 18 см.
• Периметр треугольника РКМ: P_РКМ = РК + МР + КМ = 24 см.
• Длина медианы КМ = 7 см.

Мы можем записать уравнения, используя данные:

1. КА + АМ + 7 = 18
2. РК + МР + 7 = 24

Из первого уравнения: КА + АМ = 18 - 7 = 11 см.

Из второго уравнения: РК + МР = 24 - 7 = 17 см.

Так как КМ — медиана, то АМ = МР. Мы не знаем конкретных значений АМ и МР, но знаем, что они равны.

Периметр треугольника КАР равен сумме длин всех его сторон: P_КАР = КА + АР + РК.

Мы знаем, что АР = АМ + МР. Поскольку АМ = МР, то АР = 2 * АМ (или 2 * МР).

Из уравнения (1) имеем: КА + АМ = 11. Отсюда КА = 11 - АМ.

Из уравнения (2) имеем: РК + МР = 17. Так как АМ = МР, то РК + АМ = 17. Отсюда РК = 17 - АМ.

Теперь подставим найденные значения в формулу периметра треугольника КАР:

P_КАР = КА + АР + РК = (11 - АМ) + (АМ + МР) + (17 - АМ)

Так как АМ = МР, то:

P_КАР = (11 - АМ) + (АМ + АМ) + (17 - АМ) = 11 - АМ + 2*АМ + 17 - АМ = 28.

Альтернативный способ:

Сложим периметры двух треугольников:

P_КАМ + P_РКМ = (КА + АМ + КМ) + (РК + МР + КМ)

18 + 24 = КА + РК + АМ + МР + 2 * КМ

42 = КА + РК + АР + 2 * 7

42 = КА + РК + АР + 14

КА + РК + АР = 42 - 14 = 28 см.

Периметр треугольника КАР равен КА + АР + РК.

Следовательно, P_КАР = 28 см.

Ответ: Периметр треугольника КАР равен 28 см.