ЗАДАНИЕ №3. Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите величину угла BAC, если известно, что ∠ACB = 57° и AC = 3BM.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому \(BM=\frac{2}{3}BB_1\), а из условия \(AC=3BM\) получаем \(AC=2BB_1\).

Обозначим \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\), а \(m=BB_1\). По формуле медианы к стороне \(b\): \(m^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\). Так как \(b=2m\), то \(b^2=4m^2\). Подставляем это в формулу медианы: \(b^2=2a^2+2c^2-b^2\), откуда \(b^2=a^2+c^2\).

По обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный, причём прямой угол лежит напротив стороны \(AC\), то есть \(\angle ABC=90°\). Тогда \(\angle BAC=180°-90°-57°=33°\).

Ответ: 33°.