Задание 3. Между пунктами A и B расположено болото: обойти его можно только по краю — через точку C. В распоряжении есть рулетка и транспортир. Опишите способ, как измерить расстояние AB по прямой, и обоснуйте его с помощью равенства треугольников. Оформите решение: «Дано», «Построение», «Доказательство». Подсказка: измерьте AC, BC и угол ACB; постройте на берегу треугольник, равный треугольнику ABC.

Дано. Болото находится между точками A и B; точка C расположена на доступном берегу. Можно измерить AC, BC и угол ACB.

Построение.

1. Рулеткой измерим длины AC и BC, а транспортиром — величину угла ACB.
2. На свободном участке берега выберем точку C₁ и построим угол, равный углу ACB.
3. На его сторонах отложим отрезки C₁A₁ = AC и C₁B₁ = BC.
4. Измерим рулеткой отрезок A₁B₁. Он равен искомому расстоянию AB.

Чертёж.

Доказательство. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны две стороны: AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁. Равны и углы между ними: ∠ACB = ∠A₁C₁B₁. Следовательно, треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Поэтому соответствующие стороны AB и A₁B₁ равны.

Ответ: расстояние AB находят, измерив построенный на берегу отрезок A₁B₁.