Задание 3. На сторонах BC и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно, не совпадающие с его вершинами. Докажите, что отрезки AM и BN пересекаются.

Обозначим через \(P\) точку пересечения прямых \(AM\) и \(BN\). Докажем, что она лежит внутри обоих отрезков.

Выберем координаты: \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), \(C=(0,1)\). Так как \(M\) лежит внутри стороны \(BC\), а \(N\) — внутри стороны \(AC\), существуют числа \(t,s\in(0,1)\), для которых \(M=(1-t,t)\), \(N=(0,s)\).

Точки отрезка \(AM\) имеют вид \((\lambda(1-t),\lambda t)\), где \(0\leq\lambda\leq1\). Точки отрезка \(BN\) имеют вид \((1-\mu,\mu s)\), где \(0\leq\mu\leq1\).

Приравняем координаты. Из равенства вторых координат получаем \(\mu=\lambda t/s\). Подставив это в равенство первых координат, находим \(\lambda=s/(t+s-ts)\), а значит, \(\mu=t/(t+s-ts)\).

Поскольку \(t,s\in(0,1)\), знаменатель \(t+s-ts\) больше и \(s\), и \(t\). Поэтому \(0<\lambda<1\) и \(0<\mu<1\). Полученная точка принадлежит внутренней части обоих отрезков.

Ответ: отрезки \(AM\) и \(BN\) пересекаются.