Задание № 3. На сторонах FS, SE, ED и DF четырёхугольника FSED отмечены соответственно точки A, B, C и H так, что FA = CE, SB = DH, SA = DC, BE = HF. Является ли четырёхугольник ABCH параллелограммом? Почему?

Да, четырёхугольник ABCH является параллелограммом.

По условиям FA = CE и SA = DC, поэтому FS = ED. Аналогично, из SB = DH и BE = HF следует, что SE = DF. Значит, у четырёхугольника FSED обе пары противоположных сторон равны, следовательно, FSED — параллелограмм.

Центральная симметрия этого параллелограмма переводит F в E, а S в D. Из FA = CE следует, что она переводит A в C; из SB = DH — что B в H. Поэтому центр симметрии является серединой диагоналей AC и BH четырёхугольника ABCH. Диагонали ABCH делятся пополам, значит, ABCH — параллелограмм.