Задание №3. На сторонах угла QPT отметили точки S и R. При этом образовались отмеченные на рисунке равные отрезки. Заполните пропуски в доказательстве равенства треугольников PTS и PQR: PS = PR; PT = PQ; ∠QPT — общий угол ⇒ △PTS = △PQR (по первому признаку). Определите, какие из равенств верны: ∠PQR = ∠PTS; SQ = RT; QS = ST.

Так как S лежит на луче PQ, а R — на луче PT, угол между лучами PT и PS равен углу между лучами PQ и PT: ∠TPS = ∠QPR. Это общий угол треугольников.

Даны равенства PS = PR и PT = PQ. Следовательно, △PTS = △PQR по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Соответствие вершин: P ↔ P, T ↔ Q, S ↔ R.

Из равенства треугольников получаем ∠PTS = ∠PQR и TS = QR. Кроме того, из равенств PT = PQ и PR = PS вычитанием равных отрезков следует RT = QS.

Ответ: верны ∠PQR = ∠PTS и SQ = RT. Равенство QS = ST из данных не следует.