Задание 3. Найдите длины отрезков и величины углов трапеций: 1) ABCD, где ∠A = 70°, ∠D = 50°; 2) EPMN — равнобедренная трапеция, PE = MN, ∠P = 100°; 3) TPRS, где ∠T = 75°, ∠R = 100°; 4) ABCD, где AD ∥ BC, AB = BC, AC ⟂ CD, ∠D = 50°.

В трапеции углы, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме составляют 180°. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

1. В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны. Поэтому углы при боковых сторонах дополняют друг друга до 180°:

   ∠B = 180° − 70° = 110°; ∠C = 180° − 50° = 130°.

   Числовые длины сторон по данным рисунка определить нельзя: длины не заданы.

2. Трапеция EPMN равнобедренная, поэтому углы при каждом основании равны: ∠P = ∠M, ∠E = ∠N. Соседние углы при боковой стороне PE составляют 180°:

   ∠E = 180° − 100° = 80°.

   Следовательно, ∠M = 100°, ∠N = 80°. По засечкам PE = MN; числовые длины сторон не заданы.

3. В трапеции TPRS основания PR и TS параллельны. Углы при каждой боковой стороне дополняют друг друга до 180°:

   ∠P = 180° − 75° = 105°; ∠S = 180° − 100° = 80°.

   Числовые длины сторон определить нельзя, поскольку они не заданы.

4. В треугольнике ACD угол C прямой, а ∠D = 50°. Тогда ∠CAD = 180° − 90° − 50° = 40°.

   Поскольку AD ∥ BC, внутренние односторонние углы при стороне CD дополняют друг друга до 180°: ∠BCD = 180° − 50° = 130°. Значит, ∠BCA = 130° − 90° = 40°.

   По условию AB = BC, поэтому треугольник ABC равнобедренный и ∠BAC = ∠BCA = 40°. Тогда ∠ABC = 180° − 40° − 40° = 100°, а ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 40° + 40° = 80°.

   Из отметок на рисунке следует равенство отрезков AB = BC; числовые длины сторон не заданы.

Ответ: 1) ∠A = 70°, ∠B = 110°, ∠C = 130°, ∠D = 50°; 2) ∠P = ∠M = 100°, ∠E = ∠N = 80°, PE = MN; 3) ∠T = 75°, ∠P = 105°, ∠R = 100°, ∠S = 80°; 4) ∠A = 80°, ∠B = 100°, ∠C = 130°, ∠D = 50°, AB = BC. Числовые длины сторон по изображению не определяются.