Ответ:

  1. Он работал по-новому, несмотря на трудности. Наречие с ПО- и суффиксом -ОМУ пишется через дефис.
  2. Кожаный портфель был повешен на гвоздь. В прилагательном «кожаный» пишется одна Н.
  3. В продолжение всего дня шёл дождь. В значении «на протяжении» производный предлог пишется раздельно.
  4. Он как будто не расслышал мой вопрос. Союз «как будто» пишется раздельно.
  5. Мы ни разу не были в этом музее. В отрицательном предложении употребляется усилительная частица НИ.