Задание №3. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2π]: a) (sin x - 1/2)(sin x + 1) = 0; г) (1 + cos x)(√2 sin x - 1) = 0.

Решение:

Задание: Найти корни уравнений, принадлежащие отрезку \( [0; 2\pi] \).

а) \( \left( \sin x - \frac{1}{2} \right) (\sin x + 1) = 0 \)

1. Приравниваем каждый множитель к нулю:
• \( \sin x - \frac{1}{2} = 0 \) \( \implies \sin x = \frac{1}{2} \)
• \( \sin x + 1 = 0 \) \( \implies \sin x = -1 \)
2. Решаем первое уравнение: \( \sin x = \frac{1}{2} \). Общие корни: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
3. На отрезке \( [0; 2\pi] \) корни: \( x = \frac{\pi}{6} \) (при \( k=0 \)) и \( x = \frac{5\pi}{6} \) (при \( k=0 \)).
4. Решаем второе уравнение: \( \sin x = -1 \). Общий корень: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
5. На отрезке \( [0; 2\pi] \) корень: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2} \) (при \( k=1 \)).

б) \( (1 + \cos x)(\sqrt{2} \sin x - 1) = 0 \)

1. Приравниваем каждый множитель к нулю:
• \( 1 + \cos x = 0 \) \( \implies \cos x = -1 \)
• \( \sqrt{2} \sin x - 1 = 0 \) \( \implies \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
2. Решаем первое уравнение: \( \cos x = -1 \). Общий корень: \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
3. На отрезке \( [0; 2\pi] \) корень: \( x = \pi \) (при \( k=0 \)).
4. Решаем второе уравнение: \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Общие корни: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) и \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
5. На отрезке \( [0; 2\pi] \) корни: \( x = \frac{\pi}{4} \) (при \( k=0 \)) и \( x = \frac{3\pi}{4} \) (при \( k=0 \)).

Ответ: а) \( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \); б) \( \pi, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \).