Ответ:

В предложении «мы терпеливо шли за нею пешком» слово «пешком» связано по происхождению со словом «пехота».

«Пешком» — наречие; в предложении это обстоятельство образа действия.

Ответ: пешком — наречие, обстоятельство образа действия.