Задание 3. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(|2x-3|+|x-2|=ax+3a\) имеет ровно одно решение. Входит ли \(a=-3\) в ответ?

Рассмотрим левую часть по промежуткам, определяемым точками \(x=\frac{3}{2}\) и \(x=2\):

\[|2x-3|+|x-2|=\begin{cases}-3x+5,&x<\frac32,\\1-x,&\frac32\le x<2,\\3x-5,&x\ge2.\end{cases}\]

Правая часть равна \(a(x+3)\). Уравнение задаёт пересечение графика левой части с прямой.

1. При \(a<-3\) угловые коэффициенты на всех участках положительны, поэтому имеется ровно одно пересечение.
2. При \(-3\le a<\frac15\) решений нет либо их число не равно одному. При \(-3<a<-1\) минимум разности достигается при \(x=\frac32\), а при \(-1\le a<3\) — при \(x=2\). В точке \(x=2\):
   \[1-5a=0\quad\Longrightarrow\quad a=\frac15.\]
   При \(a=\frac15\) единственное решение: \(x=2\).
3. При \(a\ge3\) прямая пересекает график ровно один раз.

Следовательно, все значения параметра:

\[a\in(-\infty,-3)\cup\left\{\frac15\right\}\cup[3,+\infty).\]

Проверим \(a=-3\): уравнение принимает вид \(|2x-3|+|x-2|=-3x-9\). Оно решений не имеет, поэтому это значение не входит в ответ.

Ответ: \(a\in(-\infty,-3)\cup\left\{\frac15\right\}\cup[3,+\infty)\); \(a=-3\) — нет.