Задание 3. Назовем число Х удачным, если для него будет выполнено условие: X < 35) ИЛИ (Х кратно 3) ИЛИ (Все цифры в Х одинаковые) Определите количество натуральных двухзначных удачных чисел.

Привет! Давай разберем эту задачку по шагам.

Нам нужно найти количество двузначных чисел, которые удовлетворяют хотя бы одному из трех условий:

• Условие 1: Число меньше 35 (X < 35).
• Условие 2: Число кратно 3 (делится на 3 без остатка).
• Условие 3: Все цифры в числе одинаковые.

Будем искать числа, которые подходят под каждое условие, а затем объединим результаты.

Двузначные числа, которые меньше 35 (Условие 1)

Двузначные числа начинаются с 10. Значит, это числа от 10 до 34 включительно.

Считаем: 34 - 10 + 1 = 25 чисел.

Список: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34.

Двузначные числа, кратные 3 (Условие 2)

Самое маленькое двузначное число, кратное 3, это 12 (3 * 4).

Самое большое двузначное число, кратное 3, это 99 (3 * 33).

Чтобы посчитать количество таких чисел, можно использовать формулу: (Последнее число - Первое число) / 3 + 1.

\[ (99 - 12) / 3 + 1 = 87 / 3 + 1 = 29 + 1 = 30 \]

Итак, есть 30 двузначных чисел, кратных 3.

Двузначные числа, у которых все цифры одинаковые (Условие 3)

Это числа:

• 11
• 22
• 33
• 44
• 55
• 66
• 77
• 88
• 99

Всего 9 таких чисел.

Объединяем результаты и убираем повторы

Теперь самое интересное: сложим количество чисел из каждого условия, но будем внимательны, чтобы не посчитать одно и то же число дважды.

Числа, которые удовлетворяют Условию 1 (X < 35):

Это числа от 10 до 34. Всего 25 чисел.

Проверим, какие из них также удовлетворяют Условию 2 (кратны 3) или Условию 3 (одинаковые цифры):

• Кратные 3: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. (8 чисел)
• С одинаковыми цифрами: 11, 22, 33. (3 числа)
• Число 33 удовлетворяет обоим условиям (кратно 3 и одинаковые цифры).

Числа, которые удовлетворяют Условию 2 (кратны 3), но НЕ Условию 1 (X >= 35):

Это числа от 36 до 99, которые делятся на 3. Всего их 30 - 8 = 22 числа.

(Мы уже посчитали 8 чисел, которые меньше 35 и кратны 3, поэтому их не включаем сюда.)

Числа, которые удовлетворяют Условию 3 (одинаковые цифры), но НЕ Условию 1 (X < 35):

Это числа: 44, 55, 66, 77, 88, 99. Всего 6 чисел.

(Числа 11, 22, 33 уже учтены в Условии 1).

Суммируем все уникальные числа:

1. Числа от 10 до 34 (Условие 1): 25 чисел.
2. Числа от 36 до 99, кратные 3 (Условие 2, но не Условие 1): 22 числа.
3. Числа с одинаковыми цифрами от 44 до 99 (Условие 3, но не Условие 1): 6 чисел.

Всего: 25 + 22 + 6 = 53 числа.

Проверим еще раз, используя принцип включения-исключения

Пусть A - множество чисел < 35, B - множество чисел, кратных 3, C - множество чисел с одинаковыми цифрами.

Мы хотим найти |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Все числа двузначные, поэтому диапазон от 10 до 99.

|A| (X < 35): от 10 до 34. = 25 чисел.

|B| (кратны 3): от 12 до 99. = 30 чисел.

|C| (одинаковые цифры): 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. = 9 чисел.

|A ∩ B| (X < 35 И кратны 3): 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. = 8 чисел.

|A ∩ C| (X < 35 И одинаковые цифры): 11, 22, 33. = 3 числа.

|B ∩ C| (кратны 3 И одинаковые цифры): 33, 66, 99. = 3 числа.

|A ∩ B ∩ C| (X < 35 И кратны 3 И одинаковые цифры): 33. = 1 число.

|A ∪ B ∪ C| = 25 + 30 + 9 - 8 - 3 - 3 + 1 = 64 - 14 + 1 = 50 + 1 = 51.

Получилось 51. Давай найдем ошибку в первом методе.

Исправление первого метода:

• Условие 1 (X < 35): 25 чисел (10-34).
• Условие 2 (кратны 3): 30 чисел. Из них 8 уже посчитаны (12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33). Значит, добавляем 30 - 8 = 22 новых числа (36, 39, ..., 99).
• Условие 3 (одинаковые цифры): 9 чисел. Из них 3 уже посчитаны (11, 22, 33). Значит, добавляем 9 - 3 = 6 новых чисел (44, 55, 66, 77, 88, 99).

Итого: 25 (из Условия 1) + 22 (новые из Условия 2) + 6 (новые из Условия 3) = 53.

Что-то не сходится. Давай пересмотрим пересечения.

Пересмотрим пересечения:

1. Числа < 35: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34. (25 шт.)

2. Числа, кратные 3 (среди двузначных): 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99. (30 шт.)

3. Числа с одинаковыми цифрами: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. (9 шт.)

Объединим списки и уберем повторы:

1. Числа < 35: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34. (25 чисел)
2. Числа, кратные 3, но НЕ < 35: 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99. (22 числа)
3. Числа с одинаковыми цифрами, но НЕ < 35 и НЕ кратные 3: (Уже учтены 11, 22, 33. Кратные 3 среди них - 33. Значит, остаются 44, 55, 66, 77, 88, 99. Но 66 и 99 кратны 3, их не нужно добавлять.)

Давай проще:

1. Числа < 35: 25 штук (от 10 до 34).

2. Числа, кратные 3, НО не попадающие в п.1:

• Числа от 36 до 99, которые кратны 3.
• Общее количество кратных 3 (двузначных) = 30.
• Кратные 3, которые < 35: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33 (8 штук).
• Значит, новых чисел, кратных 3, но >= 35: 30 - 8 = 22 числа.

3. Числа с одинаковыми цифрами, НО не попадающие ни в п.1, ни в п.2:

• Числа с одинаковыми цифрами: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
• Из них < 35: 11, 22, 33 (уже учтены в п.1).
• Оставшиеся: 44, 55, 66, 77, 88, 99.
• Проверим, какие из них кратны 3: 66, 99. Они уже учтены в п.2 (т.к. >= 35 и кратны 3).
• Значит, чисел с одинаковыми цифрами, которые еще не учтены: 44, 55, 77, 88. (4 числа).

Складываем:

25 (из п.1) + 22 (из п.2) + 4 (из п.3) = 51 число.

Проверим еще раз с помощью включения-исключения:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

|A| (X < 35): 25 (10-34)

|B| (кратны 3): 30 (12, 15, ..., 99)

|C| (одинаковые цифры): 9 (11, 22, ..., 99)

|A ∩ B| (X < 35 и кратны 3): 8 (12, 15, ..., 33)

|A ∩ C| (X < 35 и одинаковые цифры): 3 (11, 22, 33)

|B ∩ C| (кратны 3 и одинаковые цифры): 3 (33, 66, 99)

|A ∩ B ∩ C| (X < 35, кратны 3 и одинаковые цифры): 1 (33)

|A ∪ B ∪ C| = 25 + 30 + 9 - 8 - 3 - 3 + 1 = 64 - 14 + 1 = 51.

Отлично, оба метода дают одинаковый результат!

Ответ: 51