Задание 3. Назовите в графе циклы, содержащие а) 4 ребра; б) б ребер; в) 5 ребер; г) 10 ребер. Какие из этих циклов являются простыми?

Привет! Давай разберемся с этим графом.

Смотри, у нас есть звезда (пятиконечная), и все вершины соединены между собой. Это значит, что между любыми двумя вершинами есть ребро.

Разбираемся с циклами:

1. Циклы из 4 ребер:

   В этом графе невозможно построить цикл, который состоит ровно из 4 ребер. Любой путь, который возвращается в исходную вершину, будет иметь либо 3 ребра (например, A-B-C-A), либо 5 ребер (например, A-B-D-E-C-A).

2. Циклы из 6 ребер:

   Чтобы получить цикл из 6 ребер, нам нужно пройти через 6 вершин. В нашем графе всего 5 вершин (A, B, C, D, E). Поэтому цикл из 6 ребер тоже невозможен.

3. Циклы из 5 ребер:

   Это самый очевидный вариант! Это сам внешний контур звезды, который образуют вершины A-B-C-D-E-A. Этот цикл является простым, потому что он не проходит через одну и ту же вершину дважды (кроме начальной/конечной).

   Есть и другие циклы из 5 ребер, например, A-B-D-C-E-A. Они тоже простые.

4. Циклы из 10 ребер:

   Чтобы получить цикл из 10 ребер, нам нужно пройти через 10 вершин. В графе всего 5 вершин. По сути, это означает, что мы должны пройти по каждому ребру ровно два раза (туда и обратно). Такой цикл будет состоять из 5 ребер внешнего контура и 5 ребер, которые его пересекают (например, A-B-C-A, потом B-D-E-B - это уже не цикл, а часть пути).

   Если мы проходим по каждому ребру дважды, это будет называться Эйлеров цикл, но он должен проходить по каждому ребру ровно один раз. Чтобы получить 10 ребер, нам нужно будет проходить некоторые ребра по два раза, что делает цикл не простым.

   Простой цикл не может содержать 10 ребер, так как это потребовало бы минимум 6 вершин (для 5 ребер в пятиугольнике и еще 5 ребер, проходящих через вершины).

Какие из этих циклов являются простыми?

Простой цикл — это цикл, который не проходит через одну и ту же вершину более одного раза (кроме начальной и конечной вершины, которая встречается дважды).

Из перечисленных вариантов, циклы из 5 ребер являются простыми.

Ответ:

• а) 4 ребра: Не существует.
• б) 6 ребер: Не существует.
• в) 5 ребер: Да, например, A-B-C-D-E-A. Это простой цикл.
• г) 10 ребер: Не существует как простой цикл. Это означало бы повторное прохождение ребер.

Простые циклы: циклы из 5 ребер.