Задание 3: Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 12 и AC = 15.

Пусть O - центр окружности. Так как окружность касается AB в точке B, то OB перпендикулярно AB. Треугольник ABO - прямоугольный с прямым углом в B. Так как центр окружности лежит на AC и окружность проходит через C, то OC - радиус. Следовательно, радиус равен R = OC.
Также OB = R. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, где AB=12, AO = AC - OC = 15 - R, и OB = R. По теореме Пифагора:
$$AO^2 = AB^2 + OB^2$$
$$(15 - R)^2 = 12^2 + R^2$$
$$225 - 30R + R^2 = 144 + R^2$$
$$225 - 144 = 30R$$
$$81 = 30R$$
$$R = 81/30 = 27/10 = 2.7$$
Диаметр окружности равен 2R. Следовательно, диаметр равен:
$$D = 2 * 2.7 = 5.4$$
Ответ: 5.4