Задание 3. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. На отрезке AC отмечена точка M, а на отрезке BD — точка K так, что AM = BK. Докажите, что: 1) OM = OK; 2) точки M, O, K лежат на одной прямой.

Рассмотрим четырёхугольник ACBD. Его диагонали AB и CD делятся точкой O пополам, значит, ACBD — параллелограмм.

В параллелограмме центральная симметрия относительно точки O переводит A в B, C в D, а сторону AC — в сторону BD. Поэтому точка M на AC переходит в точку M′ на BD, причём BM′ = AM.

По условию AM = BK, следовательно, BM′ = BK. На отрезке BD есть только одна точка, находящаяся от B на заданном расстоянии, поэтому M′ = K.

Значит, центральная симметрия относительно O переводит M в K. Тогда O — середина MK: точки M, O, K лежат на одной прямой и OM = OK.

Ответ: 1) OM = OK; 2) M, O и K лежат на одной прямой.