Задание № 3. Отрезки BD и PS пересекаются в точке O. Известно, что BO = OD = 12 см и PO = OS. Отмеченные на рисунке углы равны. Найдите расстояние между точками B и P, если периметр треугольника DOS составляет 34 см.

Так как BO = OD, точка O — середина BD. По условию PO = OS, поэтому O — середина PS. Следовательно, диагонали четырёхугольника BPSD пересекаются и делятся пополам, значит, BPSD — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому BP = DS. Обозначим BP = DS = x, а PO = OS = y. Тогда периметр треугольника DOS даёт:

OD + OS + DS = 34,

12 + y + x = 34, откуда x + y = 22.

Равенство отмеченных углов означает, что треугольники BOP и DOS подобны: их углы при O равны как вертикальные, а ещё одна пара углов равна по отметкам. При этом BO = OD, поэтому коэффициент подобия равен 1. Следовательно, BP = DS и PO = OS; это согласуется с полученным условием периметра, но не определяет длину BP отдельно.

Действительно, из имеющихся данных следует только BP + PO = 22 см. Например, возможны BP = 10 см и PO = 12 см, а также BP = 12 см и PO = 10 см; обе пары удовлетворяют условию.

Ответ: однозначно найти BP нельзя; для решения не хватает дополнительного условия, например длины PO или величины угла.