Задание 3. Отрезок АВ — диаметр окружности, а А и ВМ — равные хорды. Найдите ∠МОВ.

Решение:

1. Анализ условия:
   
   • Отрезок AB — диаметр окружности.
   • Хорды AM и BM равны (AM = BM).
2. Геометрические свойства:
   
   • Так как AM = BM, то треугольник AMB является равнобедренным.
   • Угол, опирающийся на диаметр (∠AMB), равен 90°.
   • В равнобедренном треугольнике AMB углы при основании равны: ∠MAB = ∠MBA.
   • Сумма углов в треугольнике AMB равна 180°: ∠MAB + ∠MBA + ∠AMB = 180°.
   • 2 * ∠MBA + 90° = 180°.
   • 2 * ∠MBA = 90°.
   • ∠MBA = 45°.
   • Аналогично, ∠MAB = 45°.
3. Центральные и вписанные углы:
   
   • Угол ∠AOB — развернутый, равен 180°.
   • Угол ∠AOM — центральный угол, опирающийся на дугу AM.
   • Угол ∠BOM — центральный угол, опирающийся на дугу BM.
   • Так как хорды AM и BM равны, то и дуги, на которые они опираются, равны: дуга AM = дуга BM.
   • Следовательно, центральные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны: ∠AOM = ∠BOM.
4. Расчет угла ∠MOB:
   
   • Угол ∠AOB является суммой углов ∠AOM и ∠BOM: ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM.
   • Так как ∠AOM = ∠BOM, то ∠AOB = 2 * ∠BOM.
   • Мы знаем, что ∠AOB = 180° (диаметр).
   • 180° = 2 * ∠BOM.
   • ∠BOM = 180° / 2 = 90°.
5. Проверка:
   
   • Если ∠BOM = 90°, то дуга BM = 90°.
   • Если ∠AOM = 90°, то дуга AM = 90°.
   • Сумма дуг AM и BM = 90° + 90° = 180°, что соответствует половине окружности (диаметру AB).
   • В треугольнике AOM: OA = OM (радиусы), ∠AOM = 90°. Это прямоугольный равнобедренный треугольник. AM = OA * sqrt(2).
   • В треугольнике BOM: OB = OM (радиусы), ∠BOM = 90°. Это прямоугольный равнобедренный треугольник. BM = OB * sqrt(2).
   • Так как OA = OB = радиус, то AM = BM, что соответствует условию.

Ответ: 90°