Задание № 3. Постройте график функции \(y=|x^2-2|x|-3|\) и выберите рисунок, на котором представлен данный график.

Обозначим выражение под внешним модулем через \(x^2-2|x|-3\). Разложим его на множители: \(x^2-2|x|-3=(|x|-3)(|x|+1)\).

Так как \(|x|+1>0\), выражение неположительно при \(|x|\leq 3\) и неотрицательно при \(|x|\geq 3\). Поэтому

\[y=\begin{cases}3+2|x|-x^2,& |x|\leq 3,\\x^2-2|x|-3,& |x|\geq 3.\end{cases}\]

Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси \(y\). Ключевые точки: \(y(0)=3\), \(y(\pm1)=4\), \(y(\pm3)=0\). Между \(-3\) и \(3\) график проходит через максимум в точках \((-1;4)\) и \((1;4)\), а при \(|x|>3\) ветви направлены вверх.

Рисунку IV соответствуют нули при \(x=-3\) и \(x=3\), центральное значение \(y(0)=3\) и два максимума при \(x=\pm1\).

Ответ: рисунок IV.