Задание № 3. Прочитайте: «Заметим, что схожий результат получается для отношения длины окружности к её диаметру. Это даёт основание предположить, что коэффициент в формуле для вычисления площадей равен числу π. Строгие математические вычисления это подтверждают». Постройте математические вычисления, подтверждающие это.

Разобьём круг радиуса R на много узких секторов и расположим их попеременно вершинами вверх и вниз. Чем уже секторы, тем ближе полученная фигура к прямоугольнику.

1. Высота такого прямоугольника приближённо равна радиусу круга: R.

2. Основание приближённо равно половине длины окружности: C : 2. Так как C = 2πR, получаем C : 2 = 2πR : 2 = πR.

3. Площадь круга равна пределу площадей получаемых фигур: S = (πR) · R = πR².

4. Делим обе части равенства на R²: S : R² = π.

Следовательно, коэффициент в формуле площади круга равен π, а площадь круга в π раз больше квадрата его радиуса.