ЗАДАНИЕ №3 Прямая PR касается окружности с центром О в точке Р. Хорда PQ длиной 20 пересекает отрезок OR длиной 22 в точке S и делит его пополам. Найдите длину отрезка QS.

Поскольку PR является касательной, угол OPR равен 90 градусам. Треугольник OPQ равнобедренный, так как OP и OQ — радиусы. Отрезок OS делит хорду PQ пополам, поэтому OS перпендикулярен PQ. В прямоугольном треугольнике OPS, OP = OQ = 22/2 = 11. PS = PQ/2 = 20/2 = 10. По теореме Пифагора, OS^2 + PS^2 = OP^2, следовательно, OS^2 + 10^2 = 11^2. OS^2 = 121 - 100 = 21. OS = sqrt(21). Так как S делит OR пополам, OS = SR = 22/2 = 11. Это противоречит предыдущему расчету. Пересмотрим условие: отрезок OR длиной 22 пересекает хорду PQ в точке S и делит его пополам. Это означает, что S является серединой OR, и S является серединой PQ. Следовательно, OS = SR = 22/2 = 11. В прямоугольном треугольнике OPS, OP^2 = OS^2 + PS^2. OP — радиус. PQ = 20, значит PS = 10. OP^2 = 11^2 + 10^2 = 121 + 100 = 221. OP = sqrt(221). QS = PS = 10.