Задание 3. Решить задачи: 1. Какова масса сплошного алюминиевого куба, если площадь его поверхности равна 160 квадратных метра. 2. Император отдал ювелирам кусок золота массой 1,5 кг, чтобы сделать себе корону. Работа была выполнена точно в срок. Спустя время император заподозрил ювелиров в том, что они использовали не всё золото. На помощь пришел Архимед. Он взял корону и опустил ее в воду. Уровень воды поднялся на 200 мл. Затем он взвесил корону. Масса короны составила 1,5 кг. Определите, выполнена ли корона из чистого золота или нет.

1. Масса алюминиевого куба

Площадь поверхности куба: \(S=6a^2\), где \(a\) — длина ребра.

1. Найдём квадрат ребра: \(a^2=\frac{S}{6}=\frac{160}{6}=\frac{80}{3}\ \text{м}^2\).
2. Найдём объём куба: \(V=a^3=\left(\frac{80}{3}\right)^{3/2}\approx137.7\ \text{м}^3\).
3. Плотность алюминия \(\rho=2700\ \text{кг/м}^3\). Масса: \(m=\rho V\).

\(m\approx2700\cdot137.7\approx371806\ \text{кг}\).

Ответ: масса куба примерно равна 371 800 кг, или 371,8 т.

2. Проверка состава короны

Объём короны равен объёму вытесненной воды:

\(V=200\ \text{мл}=200\ \text{см}^3\).

Масса короны:

\(m=1.5\ \text{кг}=1500\ \text{г}\).

Вычислим плотность короны:

\(\rho=\frac{m}{V}=\frac{1500}{200}=7.5\ \text{г/см}^3\).

Плотность чистого золота примерно равна \(19.3\ \text{г/см}^3\). Плотность короны значительно меньше плотности золота.

Для короны из чистого золота объём при массе 1500 г был бы:

\(V=\frac{1500}{19.3}\approx77.7\ \text{см}^3\), а не 200 см³.

Ответ: корона изготовлена не из чистого золота. Ювелиры использовали другой металл или добавили примеси.