Задание №3. Решите неравенство методом введения новой переменной √x - √x - 2 > 0;

Решение:

Пусть \( y = \sqrt[6]{x} \). Тогда \( \sqrt[3]{x} = y^2 \).

Подставим в неравенство:

\( y^2 - y - 2 > 0 \)

Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения \( y^2 - y - 2 = 0 \).

По теореме Виета: \( y_1 + y_2 = 1 \), \( y_1 · y_2 = -2 \). Отсюда \( y_1 = 2 \) и \( y_2 = -1 \).

Парабола \( y^2 - y - 2 \) направлена ветвями вверх. Неравенство \( y^2 - y - 2 > 0 \) выполняется при \( y < -1 \) или \( y > 2 \).

Вернемся к замене: \( y = \sqrt[6]{x} \). По определению арифметического корня, \( \sqrt[6]{x} ≥ 0 \).

Следовательно, условие \( y < -1 \) не имеет решений.

Рассмотрим \( y > 2 \):

\( \sqrt[6]{x} > 2 \)

Возведем обе части неравенства в 6-ю степень (обе части неотрицательны, поэтому знак неравенства сохраняется):

\( x > 2^6 \)

\( x > 64 \)

При этом, так как \( \sqrt[6]{x} \) существует, \( x ≥ 0 \). Условие \( x > 64 \) удовлетворяет этому.

Ответ: \( x > 64 \).