Задание 3. Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x+y-8=0,\\x^2+y^2-82=0.\end{cases}\)

Из первого уравнения получаем сумму переменных: \(x+y=8\).

Возведём обе части в квадрат: \((x+y)^2=64\). Раскроем квадрат суммы: \(x^2+2xy+y^2=64\).

По второму уравнению \(x^2+y^2=82\), поэтому \(82+2xy=64\), откуда \(xy=-9\).

Числа \(x\) и \(y\) являются корнями уравнения \(t^2-8t-9=0\). Разложим на множители: \((t-9)(t+1)=0\). Следовательно, корни — \(9\) и \(-1\).

Учитывая, что переменные могут поменяться местами, получаем пары \((9,-1)\) и \((-1,9)\).

Ответ: \((x,y)=(9,-1)\) или \((x,y)=(-1,9)\).