Задание 3. Решите систему уравнений { x+y-8=0, x² + y² - 82 = 0.

Решение:

Дана система уравнений:

\( x + y - 8 = 0 \)

\( x^2 + y^2 - 82 = 0 \)

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 8 - x \).
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \( x^2 + (8 - x)^2 - 82 = 0 \).
3. Раскроем скобки и упростим: \( x^2 + (64 - 16x + x^2) - 82 = 0 \).
4. Приведём подобные слагаемые: \( 2x^2 - 16x - 18 = 0 \).
5. Разделим всё уравнение на 2: \( x^2 - 8x - 9 = 0 \).
6. Решим полученное квадратное уравнение. Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 8 \) и \( x_1 \cdot x_2 = -9 \). Корнями являются \( x_1 = 9 \) и \( x_2 = -1 \).
7. Найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \):
   • Если \( x_1 = 9 \), то \( y_1 = 8 - x_1 = 8 - 9 = -1 \).
   • Если \( x_2 = -1 \), то \( y_2 = 8 - x_2 = 8 - (-1) = 8 + 1 = 9 \).

Проверка:

Для пары \( (9, -1) \):

\( 9 + (-1) - 8 = 8 - 8 = 0 \)

\( 9^2 + (-1)^2 - 82 = 81 + 1 - 82 = 82 - 82 = 0 \)

Для пары \( (-1, 9) \):

\( -1 + 9 - 8 = 8 - 8 = 0 \)

\( (-1)^2 + 9^2 - 82 = 1 + 81 - 82 = 82 - 82 = 0 \)

Ответ: (9; -1), (-1; 9).