Задание 3. Решите текстовые задачи. Обязательно напишите: что ищете (НОД/НОК, количество наборов/длину куска и т. п.), как нашли, и ответ с пояснением. 1. В магазине нужно упаковать 120 ручек и 180 карандашей в одинаковые наборы так, чтобы ничего не осталось. Какое наибольшее количество таких наборов можно сделать? Сколько ручек и карандашей будет в каждом наборе? 2. Из двух листов картона размером 105 см и 147 см нужно вырезать одинаковые квадраты наибольшей возможной площади без остатка. Какой должна быть сторона такого квадрата? Сколько квадратов получится из каждого листа?

1. Наборы

Ищем: наибольшее количество одинаковых наборов. Для этого найдём НОД чисел 120 и 180.

Разложим числа на простые множители: \(120=2^3\cdot3\cdot5\), \(180=2^2\cdot3^2\cdot5\).

Общие множители с наименьшими показателями: \(2^2\cdot3\cdot5=60\). Значит, можно сделать 60 наборов.

В каждом наборе будет \(120:60=2\) ручки и \(180:60=3\) карандаша.

Ответ: 60 наборов; в каждом — 2 ручки и 3 карандаша.

2. Квадраты из картона

Ищем: наибольшую сторону одинаковых квадратов и количество квадратов из каждого листа. Чтобы отрезки 105 см и 147 см разделились на равные части без остатка, найдём \(\text{НОД}(105;147)\).

\(105=3\cdot5\cdot7\), \(147=3\cdot7^2\). Общие множители: \(3\cdot7=21\), поэтому сторона наибольшего квадрата — 21 см.

Из листа длиной 105 см получится \(105:21=5\) квадратов, а из листа длиной 147 см — \(147:21=7\) квадратов.

Ответ: сторона квадрата — 21 см; из первого листа получится 5 квадратов, из второго — 7.