Задание 3. Решите тригонометрические уравнения: а) cos(2x) = sin(x + π/2); б) cos 2x + sin²x = 0,5; в) cos 2x + 3 cos x + 2 = 0; г) 6 cos² x − 7 cos x − 5 = 0; д) 6 cos² x + sin x + 1 = 0; е) 3 tg² x + 2 tg x − 1 = 0; ж) 4 cos² x − 3 = 0; з) 2 ctg x − 3 tg x + 5 = 0; и) 2 cos² x + √3 cos x = 0; к) 2 cos² x − 3 cos x sin x = 2 cos² x.

Пусть во всех пунктах n ∈ ℤ.

1. а) sin(x + π/2) = cos x. Поэтому cos 2x = cos x. Отсюда 2x = ±x + 2πn.
   При 2x = x + 2πn получаем x = 2πn; при 2x = −x + 2πn получаем x = 2πn/3.
   Ответ: x = 2πn или x = 2πn/3.
2. б) Используем cos 2x = 1 − 2sin²x:
   1 − 2sin²x + sin²x = 1/2;
   sin²x = 1/2.
   Ответ: x = π/4 + πn/2.
3. в) Пусть t = cos x. Тогда cos 2x = 2t² − 1:
   2t² − 1 + 3t + 2 = 0;
   2t² + 3t + 1 = 0;
   (2t + 1)(t + 1) = 0.
   Получаем cos x = −1/2 или cos x = −1.
   Ответ: x = 2πn ± 2π/3 или x = π + 2πn.
4. г) Пусть t = cos x:
   6t² − 7t − 5 = 0;
   t = (7 ± 13)/12.
   Значение t = 4/3 невозможно, поэтому cos x = −1/2.
   Ответ: x = 2πn ± 2π/3.
5. д) Так как cos²x = 1 − sin²x, получаем:
   6(1 − sin²x) + sin x + 1 = 0;
   6sin²x − sin x − 7 = 0;
   (3sin x − 7)(2sin x + 1) = 0.
   Корень sin x = 7/3 невозможен, поэтому sin x = −1/2.
   Ответ: x = 7π/6 + 2πn или x = 11π/6 + 2πn.
6. е) Пусть t = tg x:
   3t² + 2t − 1 = 0;
   (3t − 1)(t + 1) = 0.
   Следовательно, tg x = 1/3 или tg x = −1.
   Ответ: x = arctg(1/3) + πn или x = −π/4 + πn.
7. ж) 4cos²x − 3 = 0, поэтому cos²x = 3/4 и cos x = ±√3/2.
   Ответ: x = π/6 + πn или x = 5π/6 + πn.
8. з) Область определения: sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0. Пусть t = tg x, тогда ctg x = 1/t:
   2/t − 3t + 5 = 0;
   3t² − 5t − 2 = 0;
   (3t + 1)(t − 2) = 0.
   Следовательно, tg x = 2 или tg x = −1/3.
   Ответ: x = arctg 2 + πn или x = −arctg(1/3) + πn.
9. и) Вынесем cos x за скобки:
   cos x(2cos x + √3) = 0.
   Отсюда cos x = 0 или cos x = −√3/2.
   Ответ: x = π/2 + πn; x = 5π/6 + 2πn или x = 7π/6 + 2πn.
10. к) Перенесём правую часть в левую:
    −3cos x sin x = 0;
    cos x sin x = 0.
    Значит, sin x = 0 или cos x = 0.
    Ответ: x = πn/2.