Задание 3. Решите задачи: 1. Прямая b, параллельная основанию AC треугольника ABC, пересекает его стороны в точках M, N, так что BN = 3. Найдите длину отрезка MN, если BC = 12 и AC = 20. 2. Через точку E, делящую боковую сторону треугольника в отношении 2 : 3, провели прямую, параллельную её основанию и пересекающую вторую боковую сторону в точке F. Найдите длину отрезка EF, если основание треугольника равно 25. 3. Даны две прямые. На одной прямой выбраны точки A, B, C, а на другой — точки A₁, B₁, C₁, таким образом, что AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ и точка B лежит между точками A и C. Найдите B₁C₁, если AB = 5, BC = 3 и A₁B₁ = 10.

1. Так как MN ∥ AC, треугольники BMN и BAC подобны. Коэффициент подобия равен BN / BC = 3 / 12 = 1 / 4. Тогда MN = AC · 1 / 4 = 20 · 1 / 4 = 5.

Ответ: MN = 5.

2. Отношение 2 : 3 не уточняет, какая из частей боковой стороны соответствует числу 2. Если имеется в виду BE : EA = 2 : 3, то BE / BA = 2 / 5. Из подобия треугольников BEF и треугольника с данным основанием получаем EF = 25 · 2 / 5 = 10.

Если имеется в виду AE : EB = 2 : 3, то BE / BA = 3 / 5, поэтому EF = 25 · 3 / 5 = 15.

Ответ: EF = 10 при BE : EA = 2 : 3; EF = 15 при AE : EB = 2 : 3.

3. Параллельные прямые AA₁, BB₁ и CC₁ отсекают на двух секущих пропорциональные отрезки. Коэффициент перехода от первой прямой ко второй равен A₁B₁ / AB = 10 / 5 = 2. Следовательно, B₁C₁ = BC · 2 = 3 · 2 = 6.

Ответ: B₁C₁ = 6.