Ответ:

Определяем тип сказуемого:

  1. Я начал действовать не спеша. — составное глагольное сказуемое: вспомогательный глагол «начал» и инфинитив «действовать».
  2. После окончания университета он будет историком. — составное именное сказуемое: связка «будет» и именная часть «историком».
  3. Вечером буду смотреть фильм по телевизору. — составное глагольное сказуемое: вспомогательный глагол «буду» и инфинитив «смотреть».

В данном фрагменте предложения с простым глагольным сказуемым нет: два предложения имеют составное глагольное сказуемое.

Ответ: 1 — составное глагольное; 2 — составное именное; 3 — составное глагольное.