Задание 3. Составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;

Задание 3. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа

Чтобы составить систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, нужно сначала определить узлы и контуры в схеме, а также выбрать направления токов и напряжений.

1. Определение узлов и контуров

В данной схеме есть 4 узла (обозначены цифрами 1, 2, 3, 4). Контуров больше, но для составления минимальной системы уравнений достаточно выбрать независимые контуры.

2. Выбор направлений токов и напряжений

Направления токов указаны на схеме (I₁, I₂, I₃, I₄, I₆). Направления напряжений на резисторах будем считать совпадающими с направлением тока через них. Направления ЭДС (E₁, E₂, E₃) также указаны.

3. Применение первого закона Кирхгофа (Закон токов)

Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него.

Узел 1:

Втекающие: I₁, I₄.

Вытекающий: I₃.

Уравнение: I1 + I4 = I3

Узел 2:

Втекающие: I₃.

Вытекающие: I₁, I₂.

Уравнение: I3 = I1 + I2

(Примечание: Оба уравнения для узла 1 и 2 эквивалентны, поэтому нам достаточно одного, например, из узла 1).

Узел 3:

Втекающие: I₃.

Вытекающие: I₆.

Уравнение: I3 = I6

Узел 4:

Втекающие: I₂, I₆, I₄.

Вытекающий: (нет, если считать, что узел 4 является конечным)

(Примечание: Обычно в замкнутых схемах, как эта, достаточно уравнений для N-1 узлов, где N - общее число узлов. В данном случае, 3 уравнения для 4 узлов).

Из выбранных узлов (1, 3) мы получаем:

1. I1 + I4 = I3
2. I3 = I6

Эти два уравнения можно упростить, подставив одно в другое, если они описывают одно и то же соединение ветвей, но для формального составления системы лучше записать их так. Однако, учитывая, что I₃ и I₆ являются токами в одной ветви между узлами 3 и, скажем, местом соединения ветвей I₁ и I₂, более корректно будет:

1. I1 + I4 = I3 (узел 1)
2. I2 + I6 + I4 = 0 (узел 4, все втекающие принимаем положительными, вытекающие отрицательными)

4. Применение второго закона Кирхгофа (Закон напряжений)

Алгебраическая сумма падений напряжения на резисторах в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре.

Выберем три независимых контура:

Контур 1 (1-2-3-1):

Начинаем с узла 1, идем к 2, затем к 3, и возвращаемся к 1.

Падения напряжения: I1 * R1, I2 * R3, I3 * R03.

ЭДС: E1 (направление совпадает с направлением обхода контура), E3 (направление противоположно направлению обхода контура).

Уравнение: I1 * R1 + I2 * R3 + I3 * R03 = E1 - E3

Контур 2 (2-4-3-2):

Начинаем с узла 2, идем к 4, затем к 3, и возвращаемся к 2.

Падения напряжения: I2 * R2, I4 * R5, I6 * R4.

ЭДС: E2 (направление совпадает с направлением обхода контура).

Уравнение: I2 * R2 + I4 * R5 + I6 * R4 = E2

Контур 3 (1-4-3-1):

Начинаем с узла 1, идем к 4, затем к 3, и возвращаемся к 1.

Падения напряжения: I1 * R1, I4 * R5, I3 * R03.

ЭДС: E1 (направление совпадает), E3 (направление противоположно).

Уравнение: I1 * R1 + I4 * R5 + I3 * R03 = E1 - E3

(Примечание: Контур 3 является комбинацией Контура 1 и Контура 2, поэтому он не является независимым. Для схемы с 4 узлами обычно требуется 3 независимых контура для применения второго закона Кирхгофа.)

5. Составление минимальной системы уравнений

У нас есть 5 неизвестных токов (I₁, I₂, I₃, I₄, I₆). Следовательно, нам нужно 5 независимых уравнений.

Из первого закона Кирхгофа (учитывая, что I₃ и I₆ могут быть одним током, если ветвь между узлами 3 и соединением I1/I2 - это просто точка):

Узел 1: I1 + I4 = I3

Узел 4: I2 + I6 + I4 = 0

Используем 3 независимых контура для второго закона Кирхгофа:

Контур 1 (1-2-3-1): I1 * R1 + I2 * R3 + I3 * R03 = E1 - E3

Контур 2 (2-4-3-2): I2 * R2 + I4 * R5 + I6 * R4 = E2

Контур 3 (1-4-3-1): I1 * R1 + I4 * R5 + I3 * R03 = E1 - E3

Итоговая система уравнений (5 уравнений):

1. I1 + I4 - I3 = 0 (Закон токов, узел 1)
2. I2 + I6 + I4 = 0 (Закон токов, узел 4)
3. I1 * R1 + I2 * R3 + I3 * R03 = E1 - E3 (Закон напряжений, контур 1)
4. I2 * R2 + I4 * R5 + I6 * R4 = E2 (Закон напряжений, контур 2)
5. I1 * R1 + I4 * R5 + I3 * R03 = E1 - E3 (Закон напряжений, контур 3)

Примечание: Если ток I₃ и I₆ проходят через одну и ту же ветвь, например, между узлом 3 и точкой соединения ветвей I₁ и I₂, то I₃ = I₆. В таком случае, из закона токов для узла 4: I2 + I3 + I4 = 0. Система уравнений будет выглядеть так:

1. I1 + I4 - I3 = 0
2. I2 + I3 + I4 = 0
3. I1 * R1 + I2 * R3 + I3 * R03 = E1 - E3
4. I2 * R2 + I4 * R5 + I3 * R4 = E2
5. I1 * R1 + I4 * R5 + I3 * R03 = E1 - E3

В данном случае, нужно уточнить, как именно соединены элементы. Исходя из рисунка, кажется, что I3 и I6 - это разные токи, где I6 идет от узла 3 к 4, а I3 идет от узла 2 к узлу 3. Тогда, верна первая формулировка системы.