Ответ:

  1. Дочь всё равно поступила в медицинский университет вопреки желаниям родителей. Предлог «вопреки» требует дательного падежа.
  2. Очень тоскую по вам, дорогие друзья, и с нетерпением жду нашей встречи. Ошибки нет.
  3. Сотрудники поступили согласно распоряжению директора, однако ситуацию это не спасло. Предлог «согласно» требует дательного падежа.
  4. Немало споров разразилось по поводу открытия нового торгового центра на улице Исторической. Ошибки нет.
  5. Сразу по приезде в Санкт-Петербург я отправилась в Исаакиевский собор. Ошибки нет: «по приезде» — нормативная форма.
  6. Няня бросилась наперерез малышу, чтобы тот не выбежал на проезжую часть. Предлог «наперерез» требует дательного падежа.
  7. Ученик сдал экзамен на отлично благодаря тщательной и заблаговременной подготовке. Предлог «благодаря» требует дательного падежа.
  8. Подобно ленивцу, она всегда делала всё нехотя и очень долго. Ошибки нет.
  9. Ольга Николаевна не смогла сегодня присутствовать на собрании ввиду плохого самочувствия. Ошибки нет.
  10. В целях обеспечения безопасности дорога была перекрыта. Ошибки нет.