Задание 3. Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 2x² + 6x + 7 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px − (2x² + 6x + 7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Прибыль за год как функция объёма производства:

\(P(x)=px-(2x^2+6x+7)=-2x^2+(p-6)x-7\).

1. Для фиксированной цены \(p\) максимум достигается в вершине параболы, поскольку коэффициент при \(x^2\) отрицателен. Абсцисса вершины: \(x=\frac{p-6}{4}\).

2. При этом максимальная годовая прибыль равна \(P_{\max}=\frac{(p-6)^2}{8}-7\).

3. Чтобы вложение в строительство стоимостью 75 млн рублей окупилось не более чем за 3 года, максимальная годовая прибыль должна быть не меньше \(75:3=25\) млн рублей:

   \(\frac{(p-6)^2}{8}-7\ge25\),

   \((p-6)^2\ge256\). Так как цена должна быть больше 6, получаем \(p-6\ge16\), откуда \(p\ge22\).

4. Проверка при \(p=22\): оптимальный выпуск \(x=\frac{22-6}{4}=4\) тыс. единиц, а годовая прибыль \(P(4)=22\cdot4-(2\cdot4^2+6\cdot4+7)=25\) млн рублей. Тогда завод окупится ровно за \(75:25=3\) года.

Ответ: наименьшая цена — 22 тыс. рублей за единицу.