Задание 3. Свойства степеней Условие: Вычислите: a) 2³ × 2⁴ б) (2³)⁴ в) 2⁸ ÷ 2⁵ г) (3⁵ × 3⁷) / 3¹⁰ Вопросы: Примените свойства степеней для упрощения выражений. Выполните вычисления.

Решение:

Для решения будем использовать следующие свойства степеней:

• Произведение степеней с одинаковым основанием: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
• Возведение степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
• Частное степеней с одинаковым основанием: \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)

a) \( 2^3 \times 2^4 \)

Применяем свойство произведения степеней с одинаковым основанием:

\[ 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \]

Вычисляем значение:

\[ 2^7 = 128 \]

б) \( (2^3)^4 \)

Применяем свойство возведения степени в степень:

\[ (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} \]

Вычисляем значение:

\[ 2^{12} = 4096 \]

в) \( 2^8 \div 2^5 \)

Применяем свойство частного степеней с одинаковым основанием:

\[ 2^8 \div 2^5 = 2^{8-5} = 2^3 \]

Вычисляем значение:

\[ 2^3 = 8 \]

г) \( (3^5 \times 3^7) / 3^{10} \)

Сначала упростим числитель, применяя свойство произведения степеней с одинаковым основанием:

\[ 3^5 \times 3^7 = 3^{5+7} = 3^{12} \]

Теперь выполним деление:

\[ \frac{3^{12}}{3^{10}} = 3^{12-10} = 3^2 \]

Вычисляем значение:

\[ 3^2 = 9 \]

Ответ:

• a) \( 2^7 = 128 \)
• б) \( 2^{12} = 4096 \)
• в) \( 2^3 = 8 \)
• г) \( 3^2 = 9 \)