Задание № 3. Точка C лежит на отрезке AB, причём AB = 3, AC = 1, BC = 2. Найдите множество точек M таких, что 2·AM² − BM² + CM² = 18. Какую линию образуют такие точки? Постройте прямоугольную систему координат: C — начало координат, отрезок AB лежит на оси абсцисс. Запишите уравнение этой линии в данной системе координат. Варианты: прямая, окружность.

Выберем ось абсцисс так, чтобы \(A=(-1;0)\), \(C=(0;0)\), \(B=(2;0)\). Это соответствует условиям \(AC=1\) и \(BC=2\). Обозначим \(M=(x;y)\).

По формуле расстояния в квадрате:

\(AM^2=(x+1)^2+y^2\), \(BM^2=(x-2)^2+y^2\), \(CM^2=x^2+y^2\).

Подставим в условие и упростим:

\(2((x+1)^2+y^2)-((x-2)^2+y^2)+(x^2+y^2)=18\).

\(2x^2+2y^2+8x-2=18\), поэтому \(x^2+y^2+4x-10=0\).

Выделим полный квадрат: \((x+2)^2+y^2=14\). Это уравнение окружности с центром \((-2;0)\) и радиусом \(\sqrt{14}\).

Ответ: окружность; уравнение \((x+2)^2+y^2=14\).