Задание № 3. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите CH, если AH = 27, BC = 60.

Обозначим CH за x. Тогда AC = AH + CH = 27 + x.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:

\(BC^2 = AC \cdot CH\).

Подставим данные: \(60^2 = (27+x)x\), откуда \(x^2+27x-3600=0\).

Дискриминант: \(D=27^2+4\cdot3600=15129=123^2\). Поэтому \(x=\frac{-27+123}{2}=48\). Отрицательный корень не подходит, поскольку длина положительна.

Ответ: \(CH=48\).