Задание №3. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании BC трапеции ABCD лежит на другом её основании. Найдите все стороны трапеции, если её высота равна 12, а биссектрисы BL и CL равны соответственно 13 и 15.

Пусть K — основание перпендикуляра из B на AD. Тогда BK = 12. В прямоугольном треугольнике BKL: KL = √(13² − 12²) = 5.

Обозначим через θ угол между BL и горизонтальным основанием. Тогда sin θ = 12/13 и cos θ = 5/13. Поскольку BL — биссектриса угла ABC, направление BA образует с горизонталью угол 2θ вниз-влево. Поэтому sin 2θ = 2 · 12/13 · 5/13 = 120/169, а cos 2θ = (5² − 12²)/13² = −119/169. Из вертикальной составляющей AB получаем AB · sin 2θ = 12, следовательно, AB = 169/10. Горизонтальная проекция AB направлена влево и равна 119/10.

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой CL = 15 и высотой 12 горизонтальный отрезок равен √(15² − 12²) = 9. Поэтому проекция C находится на 9 единиц правее L. Так как KL = 5, получаем BC = 5 + 9 = 14.

Пусть φ — острый угол между лучами CB и CL. Тогда sin φ = 12/15 = 4/5 и cos φ = 9/15 = 3/5. Биссектриса CL делит угол BCD пополам, поэтому вертикальная составляющая CD равна CD · sin 2φ, где sin 2φ = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25. Отсюда CD = 12 ÷ (24/25) = 25/2. Горизонтальная составляющая CD равна CD · (16 − 9)/25 = 7/2.

Расстояние между проекциями A и K равно 119/10, а между K и D — BC + 7/2 = 14 + 7/2 = 35/2. Следовательно, AD = 119/10 + 35/2 = 147/5.

Ответ: AB = 169/10, BC = 14, CD = 25/2, DA = 147/5.